L'identité d'Euler

L'identité d'Euler est l'une des équations les plus connues et fascinantes des mathématiques, liant en une formule compréhensible par un écolier quatre constantes fondamentales occupant d'ordinaire des territoires bien distincts :

e^{i\pi}=-1

Carl Friedrich Gauss affirmait de cette formule que si un étudiant ne la percevait pas immédiatement comme évidente, il ne deviendrait jamais un mathématicien de premier plan. Ce n'est donc pas à eux que s'adresse ce billet, mais, désolé d'être désagréable, à tous les autres...

Le web regorge de démonstrations géométriques qui ne font guère qu'illustrer l'identité sans guère la démontrer. Pourtant, il existe une démonstration élégante et facilement accessible. On y va...

 

1. Les vieilles séries de Taylor

Vous vous souvenez de l'idée de Taylor ? Elle consistait, en un point d'une fonction dérivable f, à construire une série constituée de f et de ses dérivées successives en ce point précis. Dans le cas de certaines fonctions, cela donne des égalités intéressantes qu'on est censé connaître par coeur :

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \hspace{4 mm}(a)

\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots \hspace{4 mm}(b)

\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots \hspace{4 mm}(c)

 

2. i

Bon, là c'est simple. Par définition :

i^2=-1 \hspace{4 mm}(d)

En conséquence :

i^1=i ; i^2=-1 ; i^3=-i ; i^4=1 ; i^5=i ; i^6=-1\ldots \hspace{4 mm}(e)

 

3. Mélange

Il est facile de transposer la série (a) en y injectant l'exposant i :

e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}\ldots \hspace{4 mm}(f)

Autrement dit, en enlevant les parenthèses :

e^{ix}=1+ix+\frac{i^2x^2}{2!}+\frac{i^3x^3}{3!}+\frac{i^4x^4}{4!}+\frac{i^5x^5}{5!}\ldots \hspace{4 mm}(g)

Grâce aux égalités (e), on peut sans difficulté remplacer les puissances de i :

e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}\ldots \hspace{4 mm}(h)

 

4. Distribution

La clé de voûte de l'opération consiste à redistribuer les termes de cette série en deux séries distinctes : l'une sans les i et l'autre avec. Autrement dit :

e^{ix}=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots )+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots ) \hspace{4 mm}(j)

Et là, on retrouve respectivement nos séries de Taylor (c) et (b). Donc :

e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) \hspace{4 mm}(k)

Il suffit de choisir pour x la valeur particulière de π et nous avons démontré que :

e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1

Voilà ! Ça vous a plu ? La semaine prochaine, Cédric analysera en hexamètres dactyliques la démontration qu'Andrew Wiles a établie du Théorème de Fermat.

 

Sources :

One thought on “L'identité d'Euler

  1. Très beau billet, tout comme cette formule qui reste un mystère.
    Je remarque toutefois que cette formule n'est pas une identité même si elle est souvent appellée ainsi. Elle contient uniquement des constantes; elle ne devrait donc pas être confondue avec l'identité d'Euler
    e^(ix) = cos(x) + isin(x)