L’identité d’Euler

L’identité d’Euler est l’une des équa­tions les plus connues et fas­ci­nantes des mathé­ma­tiques, liant en une formule com­pré­hen­sible par un écolier quatre constantes fon­da­men­tales occu­pant d’ordinaire des ter­ri­toires bien distincts :

$$e^{i\pi}=-1$$

Carl Frie­drich Gauss affir­mait de cette formule que si un étu­diant ne la per­ce­vait pas immé­dia­te­ment comme évi­dente, il ne devien­drait jamais un mathé­ma­ti­cien de premier plan. Ce n’est donc pas à eux que s’adresse ce billet, mais, désolé d’être désa­gréable, à tous les autres…

Le web regorge de démons­tra­tions géo­mé­triques qui ne font guère qu’illustrer l’identité sans guère la démon­trer. Pour­tant, il existe une démons­tra­tion élé­gante et faci­le­ment acces­sible. On y va…

 

1. Les vieilles séries de Taylor

Vous vous sou­venez de l’idée de Taylor ? Elle consis­tait, en un point d’une fonc­tion déri­vable f, à construire une série consti­tuée de f et de ses déri­vées suc­ces­sives en ce point précis. Dans le cas de cer­taines fonc­tions, cela donne des éga­lités inté­res­santes qu’on est censé connaître par coeur :

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \hspace{4 mm}(a)$$

$$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots \hspace{4 mm}(b)$$

$$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots \hspace{4 mm}©$$

 

2. i

Bon, là c’est simple. Par définition :

$$i^2=-1 \hspace{4 mm}(d)$$

En consé­quence :

$$i^1=i ; i^2=-1 ; i^3=-i ; i^4=1 ; i^5=i ; i^6=-1\ldots \hspace{4 mm}(e)$$

 

3. Mélange

Il est facile de trans­poser la série (a) en y injec­tant l’exposant i :

$$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}\ldots \hspace{4 mm}(f)$$

Autre­ment dit, en enle­vant les parenthèses :

$$e^{ix}=1+ix+\frac{i^2x^2}{2!}+\frac{i^3x^3}{3!}+\frac{i^4x^4}{4!}+\frac{i^5x^5}{5!}\ldots \hspace{4 mm}(g)$$

Grâce aux éga­lités (e), on peut sans dif­fi­culté rem­placer les puis­sances de i :

$$e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}\ldots \hspace{4 mm}(h)$$

 

4. Dis­tri­bu­tion

La clé de voûte de l’opération consiste à redis­tri­buer les termes de cette série en deux séries dis­tinctes : l’une sans les i et l’autre avec. Autre­ment dit :

$$e^{ix}=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots )+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots ) \hspace{4 mm}(j)$$

Et là, on retrouve res­pec­ti­ve­ment nos séries de Taylor © et (b). Donc :

$$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) \hspace{4 mm}(k)$$

Il suffit de choisir pour x la valeur par­ti­cu­lière de π et nous avons démontré que :

$$e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1$$

Voilà ! Ça vous a plu ? La semaine pro­chaine, Cédric ana­ly­sera en hexa­mètres dac­ty­liques la démon­tra­tion qu’Andrew Wiles a établie du Théo­rème de Fermat.

 

Sources :

• Better Explained
• Neo­tropic
• Wolfram

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